ベルヌーイ分布と二項分布 - デタくら

今回は離散型確率分布の中のベルヌーイ分布と二項分布についてお話します。

ベルヌーイ分布
二項分布
分散・期待値
まとめ

ベルヌーイ分布

まず最初に、ベルヌーイ試行について説明します。ベルヌーイ試行は起こりうる結果が成功か失敗の2種類のみの試行のことをいいます。例えば、コインを投げた時の結果は表か裏、と言ったようなものです。このベルヌーイ試行の結果が従う分布のことをベルヌーイ分布といい、その確率関数は次のような式で表現されます。

$$
P(x) = p^{x}(1-p)^{1-x}
$$

二項分布

次に二項分布についてですが、上記のベルヌーイ試行を$n$回繰り返した結果が従う分布が二項分布なのです。こちらも実際に確率関数を見ていきましょう。

$$
P(x) = {_nC_x}p^{x}(1-p)^{n-x}
$$

式を見ればわかりますが、成功回数が$x$となる1つの組み合わせに対して$_nC_x$の組み合わせをかけることで成功回数が$x$となる全ての組み合わせを考慮した確率が計算できるのです。

分散・期待値

ベルヌーイ分布の期待値と分散は、確率変数$X$がベルヌーイ分布に従うとすると

$$
\begin{align}
E[X] &= \sum^{1}_{k=0}k\times p^k(1-p)^{1-k} \\
&= p\\
V[X] &= \sum^{1}_{k=0}(k-p)^2\times p^k(1-p)^{1-k}\\
&= p^2(1-p) + p(1-p)^2 \\
&= p(1-p)
\end{align}
$$

二項分布の期待値と分散は、確率変数$X$が二項分布に従うとすると（証明略）

$$
\begin{align}
E[X] &= np\\
V[X] &= np(1-p)
\end{align}
$$