オイラーの公式
オイラーの公式は以下に示す通りです。
オイラーの公式
$i$は$i^2=-1$を満たす虚数単位
$$
e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}
$$
e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}
$$
[証明]
$e^x$、$\cos{x}$、$\sin{x}$それぞれのマクローリン展開をすると
$$
\begin{align}
e^{x} &= 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\\
\sin{x} &= \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}-\cdots\\
\cos{x} &= 1\;-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}-\cdots\\
\end{align}
$$
\begin{align}
e^{x} &= 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\\
\sin{x} &= \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}-\cdots\\
\cos{x} &= 1\;-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}-\cdots\\
\end{align}
$$
となります。これより$e^{ix}$のマクローリン展開は
$$
\begin{align}
e^{ix} &= 1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}\cdots\\
&= 1+\frac{ix}{1!}-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{ix^5}{5!}\cdots\\
&= \left(1\;-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}-\cdots\right)
+i\left(\frac{x}{1!}\:-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}-\cdots\right)\\
&= \cos{x} + i\sin{x}
\end{align}
$$
\begin{align}
e^{ix} &= 1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}\cdots\\
&= 1+\frac{ix}{1!}-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{ix^5}{5!}\cdots\\
&= \left(1\;-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}-\cdots\right)
+i\left(\frac{x}{1!}\:-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}-\cdots\right)\\
&= \cos{x} + i\sin{x}
\end{align}
$$
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